从我悲惨的高中数学三角函数说起

我的记忆力非常差，特别是对于没有清晰因果关系的事情。换言之，我的「结构记忆」显著优于我的「条目记忆」。对于一个高功能自闭症谱系患者和一个注意力缺陷多动障碍患者来说，这并不太罕见。我在高中的时候三角函数一直是我的悲剧的开始，因为我根本背不出那么多公式。以至于我的高三数学考试一上来都是从临时抱佛脚，提前狂背一遍公式，然后一开考我就立刻默写在草稿纸上…… 但我在考试前几个月的时候接触了欧拉公式。欧拉公式在我之后的人生中多次把我折磨得欲仙欲死，我多次从不同角度重新认识到这个公式的伟大之处，但它确实可以快速推广到几乎所有的高中三角函数的推论。

\[e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta\]

例子

我随手上网找了个今年高考题：

已知 $a$ 为第二象限角， $3 sin 2 \alpha cos \alpha = 8 sin \alpha cos 2 \alpha$，求 $\frac{1 + sin \alpha}{2 - cos \alpha}$。

放在今天我肯定已经全忘了。但这并不影响我发挥一下欧拉公式的神力。

设 $z = e^{i \alpha} = cos \alpha + i sin \alpha = c + is$。 我们发现我们需要处理 $2\alpha$，我们很轻易就可以构造一个含有 $2\alpha$ 的式子 $cos 2 \alpha + i sin 2 \alpha = e^{i 2 \alpha} = (e^{i \alpha}) ^ 2 = z^2$。

由单位圆性质，我们可以导出 $cos 2 \alpha = Re(z^2)$ 和 $sin 2 \alpha = Im(z^2)$。 由于 $z^2 = (c + is)^2 = c^2 - s^2 + 2sci$，我们立刻可以导出 $cos 2\alpha = c^2 - s^2$，以及 $sin 2\alpha = 2sc$。于是我们完成了二倍角公式的推论。

$3 sin 2 \alpha cos \alpha = 8 sin \alpha cos 2 \alpha = 6sc^2 = 8sc^2 - 8s^3$，我们可以化简到 $c^2 = 4s^2 $ 的形式。这里两边开方要考虑一下 c 和 s 在第二象限时候的正负性，得到 $ c = -2s $。

代入我们要求的式子 $\frac{1 + sin \alpha}{2 - cos \alpha} = \frac{1+s}{2-c} = \frac{1+s}{2+2s} = \frac{1}{2}$。

这为什么奏效

从这个角度其实我们可以很轻易利用下面这些指数性质，得到下面这类公式族

性质	得到的公式族
$e^{i\alpha}e^{i\beta}$	和角、差角
$z^n$	二倍角、三倍角、$n$ 倍角
$e^{iA}\pm e^{iB}$	和差化积
$e^{iA}e^{iB}$	积化和差
$\sum_{k=0}^{n-1} z^k$	等差角求和
$z^n=a$	三角方程、单位根、切比雪夫多项式
$(z+z^{-1})^n$	降幂、积分、傅里叶系数
$t=\tan\frac\theta2$	半角、万能公式、积分有理化

这不再拘泥于高中数学中非常严格的必须先找到哪些公式才能推出别的公式的逻辑推理过程，而是一次性可以得到一个大家族的公式。当然代价是很大的，高考是限时的考试，不一定有那么多时间给你玩这些东西…… 这个严格的递推过程实际上是高中阶段考纲在很努力考察的内容。

另外一条路

我大一的时候高等数学差点挂科，同济版的《高等数学》真的对我来说非常痛苦，我一度以为我的数学水平就到这里了，改变我的两门课是当时在慶応義塾大学上的由萩野達也教授教的《数理逻辑（論理学）》和《情報数学 (Mathematics for Information Science)》这两门课。后者可以看成是一部分离散数学和一部分抽象代数（格、序理论）相关的数学的混合课程。然后我在那个时候恰好又读到了陶哲轩写的《实分析》一书。这些课程完全改变了我对数学的理解，当我尝试用公理化方法一步步推出所有内容的时候，把我从浑浑噩噩的数学背诵中终于拯救了出来。我才发现我其实还是可以学得懂数学的，还能在数学考试里考出非常好的分数。

回到欧拉公式的问题，其实我有一个精巧的「比喻」。

设 $z(t) = e^{it}$ 是复平面单位圆上以角速度 1 逆时针运动的点。设 $ z = x + iy $，有 $ z^\prime = iz $，代入零点的数值，可以轻松得到 $z(t) = cost + isint$，这就是欧拉公式。这在复分析书上，一般会用 ODE 法这样更严格的方法描述，但它确实并不复杂。

当你学了这些之后你很快就会深深受到法国布尔巴基学派的影响，走上「新数学运动」的邪路。1960 年代美国开始在传统中小学内引入大量现代数学概念，例如矩阵、符号逻辑、布尔代数及抽象代数等。这对当时的教师和学生都造成了极大的困难，最后反而陷入了理解不了的学生和老师一起背诵证明的更糟糕的过程。虽然新数学运动的失败告诉我们不能混淆现代数学中的初等代数和数学发展历程中初等代数的概念，但我的实例似乎又反了过来，这让人不免感叹教学真的是小马过河，实在是因人而异。而我的经历可能也体现了对于一些学生来说，也许我们确实也需要另一种教学形态。

后记

接受了欧拉公式的馈赠，早晚要还回去。等未来学到复分析、四元数、旋转指数和李群的时候，自会再次重新经历一次这玩意的痛苦之处。