1/x + 1/y = 8/79 的整数解

刷到个视频，讲的是 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{8}{79}$ 的解。当然我觉得题目漏了个条件，是整数解，因为如果不加整数条件的话，该问题的解是无穷多的。

原题解

原题解发明了一种令人费解的方法叫做「扩大法」，两眼一瞪，就把 $\frac{8}{79}$ 变成 $\frac{80}{790}$，显然地，$x=10,y=790$ 或者 $x=790,y=10$。

我认为这个解法没有任何数学意义，也不具有任何启发性。因为它并没有给出任何数学上的证明，为什么扩大法可以得到整数解。实际上，这个方法是一个注意力惊人的凑数巧合。

我觉得教这种方式的老师根本不配当老师，除了误导学生之外，对于数学的学习没有任何帮助。数学的学习应该是严谨的，应该是有逻辑的，而不是这种「扩大法」的凑数。

思考

实际上，这是一个丢番图问题。考虑到对于一般的丢番图方程，没有通用的解法。我们不妨先将方程变形为：

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{p}{q}\]

其中 $p,q$ 是互素的整数。我们可以将方程变形为：

\[\begin{aligned} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= \frac{p}{q} \\ pxy - qx - qy &= 0 \\ pxy − qx − qy + \frac{q^2}{p} &= \frac{q^2}{p} \\ (px - q)(py - q) &= \frac{q^2}{p} \end{aligned}\]

对 $q^2$ 进行因数分解，我们设 $d$ 是 $q^2$ 的一个因数，则有：

\[\begin{aligned} px - q &= d \\ py - q &= \frac{q^2}{d} \\ x &= \frac{d + q}{p} \\ y &= \frac{\frac{q^2}{d} + q}{p} \end{aligned}\]

若此时 $x,y$ 都是整数，则我们找到了一组解。

验证

我们来验证一下这个方法。对于原题 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{8}{79}$，我们有 $p=8, q=79$。由于 $79^2 = 6241$，考虑到 $79$ 是素数，它的因数有 $1, 79, 6241$。我们来尝试这些因数。

当 $d=1$ 时：

\[\begin{aligned} px - q &= 1 \\ py - q &= 6241 \\ x &= \frac{1 + 79}{8} = 10 \\ y &= \frac{6241 + 79}{8} = 790 \end{aligned}\]

当 $d=6241$ 时：

\[\begin{aligned} px - q &= 6241 \\ py - q &= 1 \\ x &= \frac{6241 + 79}{8} = 790 \\ y &= \frac{1 + 79}{8} = 10 \end{aligned}\]

当 $d=97$ 时：

\[\begin{aligned} px - q &= 79 \\ py - q &= 79 \\ x &= \frac{79 + 79}{8} = 19.75 \\ y &= \frac{79 + 79}{8} = 19.75 \end{aligned}\]

这时 $x,y$ 都不是整数，所以我们不考虑这个因数。

因此，我们得到了整数解 $(10, 790)$ 和 $(790, 10)$。

总结

进一步地，我们可以发现 $x,y$ 是整数的充要条件是 $ d \equiv -q \pmod{p}$，同理 $\frac{q^2}{d} \equiv -q \pmod{p}$。另外需要注意的是，$d$ 为负数时，$x,y$ 也可能是整数。不过这不影响上面这题的答案，因此不再展开讨论。