证明 tan1° 是无理数

互联网上有一道有名的据说是京都大学的入学题（未经考证），证明 tan1° 是无理数。

看大多数的解法都是反复用二倍角公式和和角公式推到一个 60° 上，归约过程很长。还不如和角公式加数学归纳法一下直接就能证明对所有正整数 tanx° 都是有理数，然后就矛盾了。

特别对于我这种四则运算日常算错的人，少算一个具体数字是一个。

证明过程

证明 $tan1°$ 是无理数，即证明 $tan1°$ 是有理数这一结论为假。

假设存在一个 $x, x\in \mathbb{Z^{+}}$，使得 $tanx°$ 是有理数；那么 $tan(x+1)° = \frac{tanx° + tan1°}{1 - tanx°tan1°}$ 也是有理数。

假如 $tan1°$ 是有理数，由数学归纳法可得，对于所有 $x, x\in \mathbb{Z^{+}}$，$tanx°$ 都是有理数。

我们知道 $tan60° = \sqrt{3}$，而 $\sqrt{3}$ 是无理数，因此 $tan1°$ 是有理数的假设是错误的。

因此 $tan1°$ 是无理数。

证明完毕。